İstanbul'da 1932'de diplomat Ahmet Naci Kenter ile Olga Cynthia çiftinin beşinci çocuğu olarak dünyaya gelen Kenter, ilk öğrenimini Ankara'daki Çankaya İltekin İlkokulu'nda tamamladı.
Cebeci Kurtuluş Ortaokulunun ardından Atatürk Lisesine giden ve birinci sınıfta okuldan ayrılan sanatçı, 1947'de Ankara Devlet Tiyatrosu çocuk bölümünde oyunculuğa başladı.
Başarılı oyuncu, 1950'de girdiği Devlet Konservatuvarı Tiyatro Bölümünü 1955'te yüksek dereceyle bitirdi ve mezuniyetin ardından başladığı Ankara Devlet Tiyatrosunda 1959'a kadar görev yaptı.
Tiyatro sahnesine "Oğuz Ata" ile başlayan Kenter, 1959'da Devlet Tiyatrosundan İstanbul'a giderek, kardeşi Yıldız Kenter ve Muhsin Ertuğrul ile Küçük Sahne'de oyunlar sahneledi.
Şükran Güngör ve Kamuran Yüce ile bu dönemde bir araya gelen Kenter kardeşler, dörtlü olarak uzun yıllar tiyatro yaptı.
Kent Oyuncuları topluluğunu oluşturan Kenter kardeşler, 1959-1960 sezonunda "Site Tiyatrosu" adıyla Muhsin Ertuğrul'un desteğiyle oyunlar hazırladı.
Amerikalı yazar William Gibson'ın "Salıncakta İki Kişi" adlı oyunuyla başlayan topluluğun çekirdek kadrosunda, Yıldız ve Müşfik Kenter ile Genco Erkal, Şükran Güngör ve Sadri Alışık yer aldı.
Büyük bir turne düzenleyerek Anadolu'yu gezen Kenter Tiyatrosu, turnede satılan biletlerden elde edilen gelirle 1968'de tiyatro binası yaptırdı.
İngiliz Kültür Heyeti ve Rockefeller'den burs alarak Amerika ve İngiltere'de tiyatro araştırmaları yapan ve incelemelerde bulunan oyuncu, İngiltere, Amerika, Fransa ve Almanya'nın da aralarında bulunduğu birçok ülkede sahneye çıktı.
Müşfik Kenter, William Shakespeare, Anton Pavloviç Çehov, Maksim Gorki, Bertolt Brecht, Eugene Ionesco, Harold Pinter, Edward Albee ve Arthur Miller'ın eserlerini sahneye koydu.