İstanbul'da 6 Eylül 1951'de doğan Kibar, çocuk yaşlardan itibaren müziğe ilgi duydu. 8 yaşında İstanbul Belediye Konservatuvarına başlayan sanatçı, burada piyano eğitimi aldı.
Alman Lisesi'nde eğitimini sürdürürken müzikle ilgilenmeye devam eden Kibar, 1970'te Milliyet Liselerarası Müzik Yarışması'nda "En İyi Beste Ödülü" kazandı.
Eğitim hayatına Robert Koleji'nin ardından kimya mühendisliği bölümü ile devam eden Kibar, bu dönemde bestekar Timur Selçuk ile birlikte çalıştı. Kibar, 1974'te Timur Selçuk Orkestrası'nın kendi adını taşıyan albümünde org çaldı. Bu albümde yer alan ve Kibar'ın ilk bestelerinden biri olan "Panayır Günü", pek çok Yeşilçam filminde kullanıldı.
Kibar, 1975'te "Hababam Sınıfı" serisinin müziklerine imza attı ve bu müziklerle Altın Portakal Film Müziği Ödülü'nü kazandı. Kibar, "Neşeli Günler" ve "Aile Şerefi" filmlerinin müziklerini de yaptı.
Eurovision Şarkı Yarışması'na 1975'te ilk kez katılan Türkiye, elemelerde kullanmak için bir müzik bestelenmesine karar verdi. Böylece Kibar, "Çoban Yıldızı"nı besteledi.
Timur Selçuk tarafından düzenlenen ve İstanbul Gelişim Orkestrası tarafından yorumlanan parça, yarışma dışı olduğu halde Türkiye elemelerinde halktan en çok oy alan şarkılar arasına girdi.
Erol Evgin'in 45'lik olarak 1977'de müzikseverlerle buluşturduğu "İşte Öyle Bir Şey" albümündeki şarkının sözleri Çiğdem Talu tarafından yazılırken, müzikleri Melih Kibar tarafından bestelendi. Albümün büyük yankı uyandırması sonrasında Kibar-Talu çifti, Türk pop müziğinde önemli bir yer edindi.
İkili, "Sevdan Olmasa", "Bir de Bana Sor", "İçimdeki Fırtına", "Söyle Canım", "Hep Böyle Kal" ve "Bunlar da Geçer" şarkılarının da arasında bulunduğu 270 şarkıya imza attı.
Erol Evgin'in yanı sıra Füsun Önal, Zerrin Özer ve Nil Burak gibi önemli isimlerle çalışan ikili, Talu'nun hayatını kaybettiği 28 Mayıs 1983'e kadar birlikte çalıştı.
Melih Kibar, 1980'de yayınlanan "Hisseli Harikalar Kumpanyası" müzikalinin bestelerine imza attı ve 1983'te İlhan İrem ile birlikte çalışmaya başladı. İrem'in "Pencere" albümünün müzikal direktörlüğünü yapan Kibar'ın bestelediği "Halley" şarkısı, 1986 Eurovision Şarkı Yarışması'nda 9. oldu.