Kavur, 18 Haziran 1944'te Ankara'da, Mısır Prensesi Vicdan Moralı'nın kızı Abbase Sina Moralı ile memur İbrahim Şadi Kavur'un tek çocuğu olarak dünyaya geldi.
Kadıköy'de başladığı öğrenimine Robert Koleji ve Kabataş Erkek Lisesi'nde devam eden Kavur, 16 yaşında Robert Koleji'nde okurken Michelangelo Antonioni'nin "La Notte (Gece)" filmini izleyerek yönetmen olmaya karar verdi.
Ömer Kavur, yükseköğrenim için gittiği Paris'te, sosyal bilimler, gazetecilik ve sinema alanında eğitim gördü, Sorbon Üniversitesinde sinema tarihi üzerine yüksek lisans yaptı.
Fransa'da yaşarken, "Sinemada Fransız Yeni Dalgası" akımdan etkilenen usta yönetmen, Türkiye'de ilk filmini yaptığı dönem bu nedenle "yaratıcı yönetmen" olarak anıldı.
Fransa'da çektiği kısa filmlerle dikkati çeken ve çeşitli ödüller kazanan Kavur, Alain Robbe Grillet'nin 1968 yapımı "L'Homme qui merit" (Yalan Söyleyen Adam) ve Bryan Forbes'un 1969 yapımı "The Madwoman of Chaillot" (Çılgın Kadın) filmlerinde de yönetmen yardımcılığı yaptı.
Kavur, Türkiye'ye 1971'de döndü, bir süre belgesel ve reklam filmleri çekti.
Usta yönetmen, Türk sinemasında edebiyatçılarla yaptığı işbirliği ve uyarlamalarıyla önemli bir yer edindi.
Refik Halid Karay'ın "Memleket Hikayeleri" eserindeki "Yatık Emine" adlı öyküsünden uyarladığı, aynı adlı ilk uzun metrajlı filmi 1974'te çeken yönetmen, filmdeki yalın anlatımıyla dikkati çekti.
Ömer Kavur, 1979'da İstanbul'daki kimsesiz çocukların yaşamlarını konu alan "Yusuf ile Kenan"ı izleyiciyle buluşturdu.
Füruzan'ın bir öyküsünden uyarladığı 1981 yapımı "Ah Güzel İstanbul" ile senaryosunu Selim İleri'nin yazdığı "Kırık Bir Aşk Hikayesi" filmleri, Kavur'un sinema tarzını biçimlendiren yapımlar oldu.